Masa de Planck. En adelante m_p. Es el valor de masa obtenido combinando apropiadamente las constantes G, c y hbarra como (hbarra c / G)^1/2. Valor utilizado 2,178 10^-5 g.

Longitud de Planck, en adelante l_p = (hbarra G / c³)^1/2, es la longitud de onda Compton de la partícula masa de Planck. El valor utilizado en esta web es 1,616 10^-33 cm.

Tiempo de Planck, en adelante t_p = (hbarra G / c⁵)^1/2, es el tiempo que tarda la luz en recorrer la longitud de Planck. Valor utilizado 5,389 10^-44 sg.

Horizonte de sucesos de un observador con masa en reposo m₀: H_s=2G m₀ / c² o H_s= 2G h / c³ λ _c donde λ _c es la longitud de onda Compton del observador.

Antes de enunciar la hipótesis en la que se basa esta web, voy a efectuar algunas consideraciones en torno al comportamiento de la materia (energía) en las cercanías de un agujero negro. Este comportamiento aún no ha sido verificado experimentalmente en ningún caso, si bien se pueden efectuar algunas consideraciones. En primer lugar un agujero negro es, por definición, el lugar geométrico en el que la velocidad de escape de un campo gravitatorio se hace igual o mayor que c (velocidad de la luz), concretamente, si se considera una distribución esférica y homogénea de masa M, sería una esfera de radio r= 2GM/c². En lo que sigue consideraré siempre un agujero negro sin carga ni momento angular.

Aplicando el principio de incertidumbre, una partícula de masa m con respecto a M debe tener un momento angular mínimo de 1/2 hbarra (mvr = 1/2 n h/2π, n>0), podemos considerar una velocidad mínima v intrínseca normal al eje que las une. La fuerza gravitatoria resultante será: F= - GMm/r² + mv²/r. Y podemos considerar el campo gravitatorio resultante como:

V = -GMm/r + n² hbarra²/(8 m r²)    (1.1)
ó
V = -GMm/r + m c² n² λ ²/(8 r²)  donde λ = hbarra / m c    (1.1)

En el párrafo anterior he postulado que las trayectorias de las partículas en el campo gravitatorio de un agujero negro son órbitas en torno al centro del campo gravitatorio en cada punto con un momento angular cuantizado L = 1/2 n hbarra (n > 0). Este postulado es análogo al efectuado para el átomo por Bohr.

Podemos ahora estudiar la forma como "crece" un agujero negro caracterizado por el radio r= 2GM/c². Al crecer, por definición, un agujero negro no puede perder su identidad de agujero negro. ¿Cuál será la mínima cantidad de energía (m) que puede absorber sin perder esa característica y en qué tiempo mínimo se puede producir?. Dado que esta energía será característica de los agujeros negros, será la misma cada vez.

Consideremos el nuevo radio r₁ = 2G (M+m)/c² resultante de la absorción de m y calculemos la diferencia con el radio anterior r₀:

r₁ - r₀ = 2G (M+m)/c² - 2GM/ c²

r₁ - r₀ = 2Gm/ c²

Por otra parte, este incremento de energía debe cumplir el principio de incertidumbre:

mc² Δt >= hbarra/2 y Δt (mínimo) = hbarra/ 2 mc²

Si consideramos que c es el limite para la velocidad de expansión del agujero negro obtenemos que c = r₁ - r₀ / Δt (para el tiempo mínimo) y en consecuencia m² = c hbarra / 4 G, de esta expresión sí se puede calcular el valor de m que coincide con el valor de ½ masa de Planck, m = (c hbarra/ G)^1/2 / 2, r₁ - r₀ = l_p y Δt= t_p. Por tanto podemos considerar que un agujero negro crece absorbiendo paquetes de energía por valor de 1/2 masa de Planck. Durante cualquier tiempo el agujero negro acumulará energía en el exterior de su horizonte de sucesos hasta llegar a la cantidad 1/2 masa de Planck, creciendo en ese momento una longitud de onda de la partícula de Planck en un tiempo de Planck. La masa de un agujero negro podemos decir que vale N m_p/2, siendo N un numero entero que indica el orden del último proceso de absorción y el radio de un agujero negro será N l_p.

En el párrafo anterior he considerado a c como límite máximo de velocidad de expansión de un agujero negro, implícitamente he considerado también que es el límite mínimo de velocidad de expansión en cada proceso de absorción, este límite está justificado al considerar al horizonte de suceso sujeto también a la condición de velocidad de escape de un agujero negro igual a c.

Vemos que la forma de crecer un agujero negro es con paquetes de energía de valor 1/2 m_p c² cada tiempo de Planck. Sin embargo este suceso o interacción entre el agujero negro y el resto del universo no tiene porqué ser continuo, dado que el aporte de materia alrededor del agujero no es continuo (puede haber agujeros negros aislados). Si el aporte de materia es abundante el crecimiento irá convirtiéndose de crecimiento pulsante a un crecimiento continuo a la velocidad de la luz como máximo (c = l_p/ t_p). La densidad de un agujero negro también se puede calcular fácilmente:

Densidad = N m_p / (8/3) π N³ l_p³  Ó  3 c⁵/ 8 π N² h G² g/cc    (1.2)

Dado que N l_p es el radio del agujero negro, de (1.2) se deduce que la densidad de una agujero negro coincide con la densidad crítica ρ = 3 c² / 8 π G R².

Podemos calcular también la densidad del siguiente casquete esférico que será absorbido por el agujero negro:

Densidad superficial = m_p / (8 π N² l_p ²) l_p g/cc   Ó   m_p / (8 π N² l_p ³) g /cc    (1.3)

Y la energía potencial de la partícula que entran en el agujero negro. Si en la expresión m c² n² λ ²/(8 r²) que aparece en (1.1) sustituimos m por 1/2 m_p, obtenemos :

V = - G m_p m_p / 4l_p + 1/4 m_p c² = 0     dado que G m_p / l_p = c²     (1.4)

Vemos que todas las partículas acceden con la misma energía potencial 0. Si introducimos una constante de integración con valor -1/2 m_p c² (eligiendo el nivel 0 para el potencial gravitatorio de forma apropiada) y dado que todas las partículas acceden con energía relativista 1/2 m_p c² podríamos afirmar que todas entran con energía mecánica total 0.

Un agujero negro, por tanto, queda completamente definido con un número entero N.