13.-PRINCIPIO DE MACH. ANTIGRAVEDAD

El principio de Mach incide en el problema de la observabilidad de las rotaciones, en el concepto fuerza de inercia y en el concepto fuerza centrífuga. Según él el movimiento de rotación y su efecto, la fuerza centrífuga, se deben al movimiento relativo respecto al fondo de estrellas inmóviles (resto del universo). Son éstas las que de alguna forma provocan la fuerza de inercia y la fuerza centrífuga en los objetos acelerados. El modelo Universo Viviente propone una nueva visión de este problema.

Imaginemos un universo con solo dos objetos m_a y m_b separados una distancia r, esta situación es claramente irreal, sin embargo, podemos imaginarla. Estas dos masas, en principio, sufrirían una atracción gravitatoria que podría ser observada al medir la distancia r, sin embargo, el sistema, si las dos masas rotan alrededor de su centro de masas con un momento angular tal que compense la fuerza gravitatoria, parecería equivalente e indistinguible de un sistema en el que no existiese la fuerza gravitatoria y no rotaran o de un sistema en que uno solo de los cuerpos sufriera una rotación interna. El principio de Mach dice que una rotación en este sistema no podría ser observada si no existiera un fondo de estrellas fijas. El modelo Universo Viviente incluye este principio. La expresión (6.3) postulaba la existencia de dos velocidades derivadas sobre los tiempos t₁ y t₂:

v²= v₂² + v₁²    (1)

Anteriormente también definí sistemas en reposo aquellos con v constante. La velocidad v₁ está definida sobre el tiempo t₁. Consideremos las partículas anteriores rotando con un momento angular L, este momento será debido en su mayor parte a la velocidad v₂ (recordemos el postulado del epígrafe 1), consideremos para simplificar una rotación perfectamente circular (sin excentricidad), la velocidad v₂ podemos descomponerla en una componente radial y otra componente tangencial:

v₂² = v_2r² + v_2t²

El momento angular L dependerá exclusivamente de la componente tangencial, la he llamado tangencial por analogía con la velocidad en una traslación, en realidad esta velocidad es la responsable del momento angular, y éste puede ser debido a un movimiento de traslación o rotación sobre un eje interno, es decir, en las siguientes expresiones, L es la única constante del movimiento siendo r o v dependientes del sistema de referencia que se elija, se decir, en la siguiente expresión los valores de v_2t y r son arbitrarios con tal de que L sea el valor correcto del momento angular:

L² = m² v_2t² r²    (2)

v_2t² = L² / m² r²    (2)

m = m_a m_b / (m_a + m_b)

Sustituyendo en (1) los valores de ambas velocidades:

v² = v_2r² + L²/ m² r² + c²(r² ρ(r) / R_h² ρ(R_h) - c² r²/ R_h²)    (3)

La expresión (3) es la que aporta este modelo, de ella se pueden extraer algunas conclusiones: en primer lugar, en nuestro universo imaginario r = R_h y ρ(r)= ρ(R_h), por consiguiente v² = v₂². Es decir, no serían observables ni la fuerza centrífuga ni la fuerza gravitatoria y r permanecería constante (no existe velocidad v₂ radial). En cambio si r <> R_h y ρ(r) <> ρ(R_h), existirán otros objetos en el universo y aparecerán por consiguiente tanto la fuerza centrífuga como la gravitatoria. Si suponemos v_2r = 0:

v² = L²/ m² r² + 2 G M / r - c² r²/R_h²      (4)

Si v = constante, es decir, un sistema inercial:

v² - L² / m²r² = 2 G M / r - c² r²/ R_h²      (5)

Si aplicamos la divergencia obtenemos:

- L² / m²r³ = G M / r² + c² r/ R_h²      (6)

Expresión que indica que el momento angular sobre el tiempo t₂ tiene carácter antigravitatorio; el término - c² r²/ R_h³ no aparece en (6) al considerar en principio constante a R_h. La expresión (6) es la clásica expresión que permite mantener en órbita a nuestros satélites artificiales. Sin embargo, si consideramos que L es una constante del movimiento y que en las expresiones anteriores significaba el momento angular total incluido el spin o momento angular intrínseco de cada partícula u objeto el resultado es claramente sorprendente: cualquier objeto con un momento angular L podría sufrir una fuerza antigravitatoria equivalente a la expresada en (6). Es decir, podríamos definir la fuerza antigravitatoria, despreciando el término cosmológico, como :

F = L² / m² r³    (7)

El momento angular L es el total del sistema incluido cualquier momento angular interno que tenga el objeto. Si nos situamos sobre la Tierra, este modelo predice que un objeto de masa m "flotará" (dependiendo de la orientación de L) con un momento angular L de valor:

L = (G M m² r)^1/2    (8)

A efectos prácticos, aprovechar esta propiedad es bastante complicado. Si aplicamos (8) a un objeto en forma de aro de masa m y radio r₀ que gira alrededor de un eje con velocidad angular ω y momento de inercia I = m r₀² obtenemos:

m r₀² ω = (G M m² r)^1/2    and

ω = (G M r / r₀⁴)^1/2   

Conseguir la velocidad angular necesaria, sobre la superficie de la Tierra, para hacer que el cuerpo flote significa una velocidad tangencial igual a 0,99 c con un radio r₀ de valor mínimo 169 metros, si el aro tuviera una masa de 1 Kg, la energía necesaria para generar este giro sería del orden de 1,8 10⁴⁴ ergios (el equivalente a la desintegración de 2 10¹⁷ toneladas de materia, claramente desalentador. Sin embargo, los fotones tienen momento cinético e intrínsecamente spín 1 (independiente de su energía); ¿sería factible confinar suficiente número de fotones, apropiadamente organizados, en el interior de un vehículo de tal forma que el conjunto tuviera el momento angular requerido?. En el caso del ejemplo anterior, harían falta 2,39 10⁶² fotones. Si se pudiera conseguir fotones con frecuencia 1.66 10^-18 hz., la energía necesaria sería 2,6 10¹⁸ ergios, equivalente a 2,9 10^-3 gramos de materia desintegrada.

La velocidad v₁ también puede generar un momento angular, al menos, tal como se indicó en el postulado del epígrafe 1, ½ ћra. En general el momento angular debido a v₁ de un objeto m respecto de un observador M se puede expresar como:

L₁² = (2GM/r) m² r² sen(α)²

Donde α es el ángulo que forman r y v₁; si consideramos que la distancia mínima entre m y M sería el horizonte de sucesos de M, entonces sen(α)= 2GM / c² r.

L₁² = (2GM/r)³ m² r² / c²

La velocidad v₁ también podemos considerarla compuesta por una componente radial y otra tangencial:

v₁² = v_1r² + v_1t²

La componente tangencial es la que genera el momento angular y éste tiene carácter antigravitatorio, podemos pensar que en las transformaciones de Lorentz habrá que descontar esta velocidad. El valor de v_1t, considerando L₁ como constante del movimiento, será:

v_1t²= L₁² / m² r²

v_1t² = (2GM/r)³ / c²

Las trasformaciones de Lorentz se podrían generalizar descontando esta velocidad, llamando r_h al horizonte de sucesos de M, de la siguiente forma:

γ = (1 - v₂²/c² - (2 G M / r c²)(1 - r_h²/r²) + r²/ R_h² )^1/2      (9)

En esta expresión podemos ver que cuando r se hace igual a r_h, la velocidad sobre el tiempo t₁ se hace 0. Así mismo, en el horizonte de sucesos de un agujero negro γ vale (1 - v₂²/c² + r²/ R_h² )^1/2, tal como habíamos visto en el epígrafe sobre el desplazamiento al rojo cosmológico. Cuando se acumula suficiente energía (una masa de Planck), el agujero negro absorberá media masa de Planck y expulsará el resto hacia su universo madre.

La expresión (9), podríamos haberla usado en la determinación de la precesión del perihelio de Mercurio, en el epígrafe 8. Haciendo los mismos cálculos encontraríamos una diferencia respecto al resultado de la TGR inapreciable, sin embargo esta diferencia puede ser apreciable en campos gravitatorios intensos o cuando r es pequeño como, por ejemplo, en el caso de la rotación diferencial solar.

_{© Jorge Ales, 2002. http://www.universoviviente.com}