7.-PRECESION DEL PERIHELIO DE MERCURIO

En el epígrafe anterior expuse como este modelo equivale a los modelos basados en la Teoría General de la Relatividad al explicar el fenómeno de las lentes gravitatorias. En éste otro epígrafe mostraré como es capaz también de explicar la precesión del perihelio de Mercurio. También servirá como ejemplo del uso de las nuevas transformaciones de Lorentz del epígrafe anterior.

Las órbitas de los planetas alrededor del sol son elípses con el sol en uno de sus focos. La ecuación de la elípse es la siguiente:

r = r₀ (1 + e) / (1 + e cos(φ))

Donde r es la distancia a uno de los focos, r_o es la distancia mínima entre el planeta y la estrella y e es la excentricidad. Para una órbita circular e vale 0. La observación de la precesión del perihelio se puede efectuar en todos los planetas con excentricidad en su órbita, siendo mas dificil su observación en los que tienen una pequeña excentricidad. Este movimiento, en su mayor parte, se debe a la influencia gravitatoria del resto de los planetas, sin embargo, existe un exceso, mas evidente en Mercurio, que no puede ser explicado con la gravitación de Newton. Este exceso es el que explica satisfactoriamente la TGR. Esto no quiere decir que una órbita circular no sufra este movimiento, sino que es indistinguible. El ángulo de precesión según la TGR viene dado por la siguiente expresión:

r = r₀ (1 + e) / (1 + e cos(φ - Δφ))

Donde

Δφ = 6 π G M / c² r₀ (1 + e)

Para simplificar los cálculo, consideremos una órbita circular (e = 0) de radio 58 10⁶ Km., éste es el radio medio de la órbita de Mercurio. La duración de la órbita es de 88 dias y da 415 órbitas cada 100 años. M es la masa del sol (2 10³³ g.). Con estos datos, según la TGR el valor del angulo de precesión con cada vuelta será Δφ = 4,8235 10^-7 rad. Que multiplicado por las 415,01391912 órbitas por siglo, obtenemos 2,0018354 10^-4 rad., en segundos de arco serían 41,29 segundos de arco (la realidad considerando la excentricidad son 43 segundos de arco).

El modelo Universo Viviente parte de la siguiente expresión, en la que he considerando una distribución esférica homogénea de energía:

v²= v₂² + 2 G M / r - c² r²/R_h²    (7.1)

En esta expresión v es la velocidad del planeta mercurio y v₂ es la velocidad que se observa.

Si aplicamos la expresión de las transformaciones de Lorentz indicadas en (3.1), obtenemos:

γ = [ 1 - v₂² /c² + (r² H² / c²) (1 - ρ(r) / ρ(R_h) ) ]^1/2

Si consideramos, como es posible en este caso, una distribución esférica y uniforme de energía, la expresión anterior se queda como:

γ = (1 - v₂² /c² - 2 G M / r c² + r²/ R_h²)^1/2    (7.2)

En este caso particular es posible calcular la velocidad v₂, en efecto, dado que la órbita es circular, se cumple que v₂² / r = G M / r²; la expresión (7.2) queda pués:

γ = (1 - 3 G M / r c² + r²/ R_h²)^1/2    (7.3)

Podemos aplicar esta expresión al cálculo de la dilatación temporal y a la contracción espacial sufridas por Mercurio a lo largo de la órbita; llamaré t_m el tiempo medido en Mercurio y t_t el tiempo medido por el observador, sustituyendo valores y despreciando inicialmente el término cosmológico, obtenemos:

t_t = t_m / γ    (7.4)

La contracción sufrida por Mercurio debido a su movimiento será:

S_t = S_m γ

La velocidad media medida en Mercurio será:

v_m = S_m / t_m

Y la medida en la Tierra será:

v_t = S_t / t_t
v_t = S_m γ / (t_m / γ)
v_t = v_m γ²

Utilizando los valores de masa del Sol y radio de la orbita de Mercurio encontramos que la diferencia de velocidades entre la real de Mercurio y la observada en la Tierra es de 0,36817 cm/sg. Esta diferencia acumulada a lo largo de un siglo genera un desfase en la órbita de Mercurio de 1.161.064.532 cm que equivale a un arco de 2,0018 10^-4 rad.

El mismo valor que el obtenido con la expresión de la TGR.

En los párrafos anteriores he simplificado el problema al considerar órbitas elípticas, a continuación trataré de generalizar el problema del movimiento de una partícula en el seno de un campo gravitatorio.

La velocidad de fase de una partícula con energía E podemos definirla como w = ν λ , donde ν = E / h y λ = h / p. La frecuencia ν también se puede definir como la inversa del periodo ν = 1 / τ.

Para resolver el problema de encontrar la trayectoria de una partícula en el seno de un campo gravitatorio, podemos pensar, igual que en el caso de la desviación del rayo de luz en las lentes gravitatorias, que el campo gravitatorio genera un índice de refracción variable n(r) definido por el cociente w_o / w, donde w_o es la velocidad de fase en el vacío y w la velocidad de fase en el seno del campo gravitatorio.

Si tenemos en cuenta la expresión dada en (3.1), considerando una distribución esférica homogénea tenemos que γ = (1 - v₂²/c² - 2 G M /c² r)^1/2 despreciando el término cosmológico. La longitud de onda de la partícula sufrirá una contracción quedando λ = λ _oγ y el periodo sufrirá una dilatación τ = τ_o/ γ. Llegamos por tanto a la siguiente expresión del índice de refracción:

n(r) = w_o / w     
n(r) = ν_o λ_o / ((λ_o γ)(γ / τ_o ))    
n(r) = 1 / γ²    (7.4)

La trayectoria de la partícula será aquella que haga del camino óptico un extremal:

n(r,φ,Θ) = 1 / (1 - v₂(r,φ,Θ)²/c² - c² r² ρ(r,φ,Θ)/ R_h²ρ(R_h) + r²/R_h²)     (7.5)

δS = δ ∫ n(r,φ,Θ) ds = 0     (7.6)

¿Podría aplicarse a estas expresiones la metodología de la integral de camino de Richard Feynman?

En el caso del perihelio de Mercurio, a partir de (7.3) obtenemos el siguiente índice variable:

n( r ) = 1 / (1 - 3 G M / r c² + r²/ R_h²)

La velocidad teórica de Mercurio a través de su órbita según la mecánica de Newton es de v = 4.795.831 cm/sg., este índice de refracción hace que la velocidad real de Mercurio sea menor: v_r = v / n(r), encontramos que esta velocidad es 4.795.830 cm/sg, la diferencia con la anterior es de 0,36817 cm/sg; esta velocidad a lo largo de 100 años acumularará un atraso de 1.161.064.532 cm que equivale a un arco de 2,0018 10-4 rad. El mismo valor obtenido anteriormente.

_{© Jorge Ales, 2002. http://www.universoviviente.com}